Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$ , $s (0) = 9$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Sau đó $d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $t - \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - \frac{π}{12}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $- \frac{π}{12}$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- \frac{π}{12}$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.3

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.3.6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 2.3.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 2.3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 2.3.9

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 2.3.9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 2.3.9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 2.3.10

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 2.3.11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 2.3.12

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Bước 2.3.13

Rút gọn.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Bước 2.3.14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Bước 2.3.14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Bước 2.3.14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Bước 2.3.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Bước 2.3.15.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{12}$ vào tử số.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.2.4

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.4

Kết hợp $\sin (2 t - \frac{π}{6})$ và $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.6.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{12}$ vào tử số.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.6.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.6.1.4

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.6.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ vào tử số.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.15.6.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.15.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.15.6.2.4

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Bước 2.3.15.6.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Bước 2.3.15.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $9$ cho $s$ trong $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ .

$9 = 4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 9$ .

$4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 9$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nhân $4$ với $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 9$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (0 - \frac{π}{6}) + K = 9$

Bước 4.2.1.1.3

Trừ $\frac{π}{6}$ khỏi $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (- \frac{π}{6}) + K = 9$

Bước 4.2.1.1.4

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + K = 9$

Bước 4.2.1.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + K = 9$

Bước 4.2.1.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + K = 9$

Bước 4.2.1.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + K = 9$

Bước 4.2.1.1.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$0 - \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + K = 9$

Bước 4.2.1.1.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 - \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + K = 9$

Bước 4.2.1.1.7.4

Viết lại biểu thức.

$0 - \frac{π}{3} - 1 \cdot - 1 + K = 9$

Bước 4.2.1.1.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 - \frac{π}{3} + 1 + K = 9$

Bước 4.2.1.2

Trừ $\frac{π}{3}$ khỏi $0$ .

$- \frac{π}{3} + 1 + K = 9$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $\frac{π}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$1 + K = 9 + \frac{π}{3}$

Bước 4.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 9 + \frac{π}{3} - 1$

Bước 4.3.3

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$K = 8 + \frac{π}{3}$

Bước 5

Thay $8 + \frac{π}{3}$ cho $K$ trong $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $8 + \frac{π}{3}$ bằng $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 8 + \frac{π}{3}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 8 + \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $- \frac{π}{3}$ và $\frac{π}{3}$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 8$

Bước 5.2.2

Cộng $4 t$ và $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 8$