Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (y - 3)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{y - 3}{y}$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} (\frac{y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{y}{y - 3}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) x}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $y - 3$ ra ngoài $(y - 3) x$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) (x)}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) x}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{y - 3}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{y}{y} + \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\int d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int d y + \int - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.6

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.8

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.9

Rút gọn.

$y - 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y - 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y - 3 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$