Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ với $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.2

Nhân $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ với $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.6

Kết hợp $y$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.7

Nhân $3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + y^{2} \frac{3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.7.2

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.9

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.10

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.10.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Bước 1.10.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Bước 1.10.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 y \frac{1}{x}}$

Bước 1.11

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + y \frac{2}{x}}$

Bước 1.12

Kết hợp $y$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Bước 1.13

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 \cdot y}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Bước 1.13.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Bước 1.14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Bước 1.15

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{2 y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Bước 1.15.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Bước 1.16

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Bước 1.16.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Bước 1.17

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{3 y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Bước 1.17.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Bước 1.18

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{2 y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.18.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Bước 1.18.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Đưa $V$ ra ngoài $2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Đưa $V$ ra ngoài $2 \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Bước 6.1.1.1.2

Đưa $V$ ra ngoài $3 \cdot V \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + V (3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

Bước 6.1.1.1.3

Đưa $V$ ra ngoài $V \cdot 2 + V (3 V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}$

Bước 6.1.1.2

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Để viết $- V$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V \cdot \frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.1

Kết hợp $- V$ và $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} + \frac{- V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.1

Đưa $V$ ra ngoài $V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.1.1

Đưa $V$ ra ngoài $- V (1 + 2 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.1.2

Đưa $V$ ra ngoài $V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 \cdot 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.5

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (3 V + 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.6

Trừ $2 V$ khỏi $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.6

Nhân $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Bước 6.1.1.3.3.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{x (1 + 2 V)}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} (\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Nhân $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Bước 6.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + 2 V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.2.1

Đưa $1 + 2 V$ ra ngoài $(1 + 2 V) x$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) (x)}$

Bước 6.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Bước 6.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Bước 6.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $V (V + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Bước 6.1.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.2

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $V (V + 1)$ .

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $V + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.4.2

Chia $1 + 2 V$ cho $1$ .

$1 + 2 V = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.5

Sắp xếp lại $1$ và $2 V$ .

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.6.1.2

Chia $A (V + 1)$ cho $1$ .

$2 V + 1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 V + 1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.6.3

Nhân $A$ với $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $V + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 V + 1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.1.6.4.2

Chia $(B) (V)$ cho $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + (B) (V)$

$2 V + 1 = A V + A + B V$

Bước 6.2.2.1.1.7

Di chuyển $A$ .

$2 V + 1 = A V + B V + A$

Bước 6.2.2.1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $V$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$2 = A + B$

Bước 6.2.2.1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $V$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A$

Bước 6.2.2.1.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$2 = A + B$

$1 = A$

$2 = A + B$

$1 = A$

Bước 6.2.2.1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $A = 1$ .

$A = 1$

$2 = A + B$

Bước 6.2.2.1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $2 = A + B$ bằng $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

Bước 6.2.2.1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

Bước 6.2.2.1.3.3

Giải tìm $B$ trong $2 = 1 + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

Bước 6.2.2.1.3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $B$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

Bước 6.2.2.1.3.3.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Bước 6.2.2.1.3.4

Giải hệ phương trình.

$B = 1 A = 1$

Bước 6.2.2.1.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$B = 1, A = 1$

Bước 6.2.2.1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1}$

Bước 6.2.2.1.5

Loại bỏ số 0 từ biểu thức.

$\int \frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{V}$ đối với $V$ là $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Giả sử $u = V + 1$ . Sau đó $d u = d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.1

Hãy đặt $u = V + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.1.1

Tính đạo hàm $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Bước 6.2.2.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $V + 1$ đối với $V$ là $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Bước 6.2.2.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Bước 6.2.2.4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $V$ , đạo hàm của $1$ đối với $V$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.2.2.4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2.2.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.6.1

Rút gọn.

$\ln (| V |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.6.2.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | | u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6.2.2

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| V u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $V + 1$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| V (V + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Bước 8

Giải $\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 8.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |}{| x |}) = C$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{y}{x} + 1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + 1)}{x} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y + x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.3

Kết hợp $y$ và $\frac{y + x}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\frac{y (y + x)}{x}}{x} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.5

Nhân $\frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Nhân $\frac{y (y + x)}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{1 + 1}} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{2}} |}{| x |}) = C$

Bước 8.3.6

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\ln (\frac{\frac{| y (y + x) |}{x^{2}}}{| x |}) = C$

Bước 8.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Bước 8.5

Kết hợp.

$\ln (\frac{| y (y + x) | \cdot 1}{x^{2} | x |}) = C$

Bước 8.6

Nhân $| y (y + x) |$ với $1$ .

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2} | x |}) = C$