Giải tích Ví dụ

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 y + x^{2} y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 y$ đối với $y$ là $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Bước 1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $y$ là $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

Bước 1.4.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x^{2} + 4$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x^{2} + 4 = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $x^{2} + 4$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

Bước 4.3

Thay $4 y + x^{2} y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $4 y + x^{2} y$ bằng $M$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $- (- x^{2} - 4)$ khỏi $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Bước 4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $4 y + x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $4 y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- x^{2} - 4$ và $4 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

Bước 4.3.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Bước 4.3.4.4

Viết lại $- (x^{2} + 4)$ ở dạng $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Bước 4.3.4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Bước 4.3.4.6

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Bước 4.3.4.7

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{y}$

Bước 4.3.5

Thay $4 y + x^{2} y$ bằng $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $4 y + x^{2} y$ với $\frac{1}{y}$ .

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $4 y + x^{2} y$ với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Bước 6.3

Đưa $y$ ra ngoài $4 y + x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Bước 6.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Bước 6.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Bước 6.4.2

Chia $4 + x^{2}$ cho $1$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $y - 1$ với $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $y - 1$ với $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = 4 + x^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

Bước 8.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 8.4

Rút gọn.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Bước 11.3

Vì $4 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $4 x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Bước 11.4

Vì $\frac{1}{3} x^{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Bước 11.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Bước 11.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Bước 11.6.2

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $\frac{y - 1}{y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Bước 12.3

Chia phân số thành nhiều phân số.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

Bước 12.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Bước 12.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Bước 12.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Bước 12.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Bước 12.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

Bước 12.8

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

Bước 12.9

Rút gọn.

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

Bước 13

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

Bước 14

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$