Giải tích Ví dụ

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Nhân $\frac{d y}{d x} y$ với $x$ .

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

Bước 1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Trừ $x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

Bước 1.1.2.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Bước 1.1.3

Đưa $\frac{d y}{d x} y$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $\frac{d y}{d x} y$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Bước 1.1.3.2

Đưa $\frac{d y}{d x} y$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Bước 1.1.3.3

Đưa $\frac{d y}{d x} y$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

Bước 1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ cho $y (1 + x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ cho $y (1 + x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.2

Để viết $- \frac{x}{1 + x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 + x) y$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.3.1

Nhân $\frac{x}{1 + x}$ với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 + x) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.5

Đưa $x$ ra ngoài $- x y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (- y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.7

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.9.1

Viết lại $- (y + 1)$ ở dạng $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

Bước 1.1.4.3.9.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Bước 1.4.2

Nhân $\frac{x}{1 + x}$ với $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Bước 1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y}{y + 1}$ vào tử số.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Bước 1.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Bước 1.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + x) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Bước 1.4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Bước 1.4.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

Bước 1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Đưa $y + 1$ ra ngoài $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Bước 1.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Bước 1.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia $y$ cho $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Bước 2.2.1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $y$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Bước 2.2.1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Bước 2.2.1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Bước 2.2.1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Bước 2.2.1.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.2.5

Giả sử $u_{1} = y + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Hãy đặt $u_{1} = y + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.2.5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.5.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.2.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại $1$ và $x$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Bước 2.3.3

Chia $x$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Bước 2.3.3.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Bước 2.3.3.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Bước 2.3.3.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Bước 2.3.3.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Bước 2.3.3.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 2.3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 2.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 2.3.7

Giả sử $u_{2} = x + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.7.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.7.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 2.3.8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Bước 2.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Bước 2.3.11.2

Nhân $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Bước 2.3.11.2.2

Nhân $\ln (| x + 1 |)$ với $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$