Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 3$ $y (1) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (2 x + 3) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 2 x + 3 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 2 x + 3 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = x^{2} + 3 x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = x^{2} + 3 x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = x^{2} + 3 x + K$ .

$2 = 1^{2} + 3 \cdot 1 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $1^{2} + 3 \cdot 1 + K = 2$ .

$1^{2} + 3 \cdot 1 + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn $1^{2} + 3 \cdot 1 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 \cdot 1 + K = 2$

Bước 4.2.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$1 + 3 + K = 2$

Bước 4.2.2

Cộng $1$ và $3$ .

$4 + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 2 - 4$

Bước 4.3.2

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$K = - 2$

Bước 5

Thay $- 2$ cho $K$ trong $y = x^{2} + 3 x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 2$ bằng $K$ .

$y = x^{2} + 3 x - 2$