Giải tích Ví dụ

$t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 5 t e^{t}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d r}{d t} + M (t) r = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 5 t e^{t}$ cho $t \ln (t)$ .

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Bước 1.3.2

Chia $\frac{d r}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 1.5

Đưa $r$ ra ngoài $\frac{r}{t \ln (t)}$ .

$\frac{d r}{d t} + r \frac{1}{t \ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 1.6

Sắp xếp lại $r$ và $\frac{1}{t \ln (t)}$ .

$\frac{d r}{d t} + \frac{1}{t \ln (t)} r = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = \frac{1}{t \ln (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{t \ln (t)} d t}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{1}{t \ln (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = \ln (t)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{t} d t$ , nên $t d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = \ln (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\ln (t)]$

Bước 2.2.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (t)$ đối với $t$ là $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{t}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (t)$ .

$e^{\ln (| \ln (t) |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (\ln (t))}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\ln (t)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\ln (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\ln (t)$ .

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) (\frac{1}{t \ln (t)} r) = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{t \ln (t)}$ và $r$ .

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{t \ln (t)} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $\ln (t)$ ra ngoài $t \ln (t)$ .

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Bước 3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = 5 e^{t}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [\ln (t) r] = 5 e^{t}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [\ln (t) r] d t = \int 5 e^{t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\ln (t) r = \int 5 e^{t} d t$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$\ln (t) r = 5 \int e^{t} d t$

Bước 7.2

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$\ln (t) r = 5 (e^{t} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$\ln (t) r = 5 e^{t} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $\ln (t) r = 5 e^{t} + C$ cho $\ln (t)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $\ln (t) r = 5 e^{t} + C$ cho $\ln (t)$ .

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

Bước 8.2.1.2

Chia $r$ cho $1$ .

$r = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$