Giải tích Ví dụ

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y = 1 + x$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $(1 + x) y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + x$ và $g (x) = y$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$(1 + x) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + x) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + x) y' + y (0 + 1)$

Bước 1.6

Cộng $0$ và $1$ .

$(1 + x) y' + y \cdot 1$

Bước 1.7

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $1$ và $x$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.9

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.10

Nhân $y$ với $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(1 + x) y] = 1 + x$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x) y] d x = \int 1 + x d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$(1 + x) y = \int 1 + x d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$(1 + x) y = \int d x + \int x d x$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$(1 + x) y = x + C + \int x d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x) y = x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.4

Rút gọn.

$(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $1 + x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.1.3

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{1}{1 + x}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.2

Để viết $\frac{x}{1 + x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 + x) \cdot 2$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nhân $\frac{x}{1 + x}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 + x) \cdot 2$ .

$y = \frac{x \cdot 2}{2 (1 + x)} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x \cdot 2 + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.5

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 2 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 2$ .

$y = \frac{x (2) + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$y = \frac{x (2) + x \cdot x}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (2) + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Bước 6.3.6

Để viết $\frac{C}{1 + x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 6.3.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $2 (1 + x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.7.1

Nhân $\frac{C}{1 + x}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2}$

Bước 6.3.7.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 + x) \cdot 2$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Bước 6.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x (2 + x) + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Bước 6.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{x \cdot 2 + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Bước 6.3.9.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \frac{2 \cdot x + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Bước 6.3.9.3

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{2 \cdot x + x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Bước 6.3.9.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{2 x + x^{2} + 2 C}{2 (1 + x)}$