Giải tích Ví dụ

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

Bước 1

Cộng $(1 + e^{y}) d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{1 + e^{y}}$ và $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u = 1 + e^{y}$ . Sau đó $d u = e^{y} d y$ , nên $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u = 1 + e^{y}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Bước 4.2.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 4.2.1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 4.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Bước 4.2.1.1.4

Cộng $0$ và $e^{y}$ .

$e^{y}$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$