Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Bước 1.4

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.6

Nhân $y$ với $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int \sqrt{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Di chuyển $x^{1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2

Nhân $x^{\frac{3}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Di chuyển $x^{- 1}$ .

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.6.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$