Giải tích Ví dụ

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Bước 2.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.4.2

Nhân $\int e^{- x} d x$ với $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.5

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.3.5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Bước 2.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Bước 2.3.8

Viết lại $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ ở dạng $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Bước 3.3.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Bước 3.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Bước 3.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Bước 3.3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.6.1

Viết lại $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ ở dạng $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Bước 3.3.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$