Giải tích Ví dụ

$(y^{2} + 1) d x = (1 + x y) d y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $(1 + x y) d y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Bước 2.5

Cộng $2 y$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (1 + x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x y)]$

Bước 3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (1 + x y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [1 + x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x y]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.6

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Bước 3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = - y$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y = - y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (2 y)}{M}$

Bước 5.3

Thay $y^{2} + 1$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $y^{2} + 1$ bằng $M$ .

$\frac{- y - (2 y)}{y^{2} + 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y - 1 \cdot 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2} + 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Bước 5.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 1 - 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y (- 1 - 2)}{y^{2} + 1}$

Bước 5.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$\frac{y \cdot - 3}{y^{2} + 1}$

Bước 5.3.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{- 3 \cdot y}{y^{2} + 1}$

Bước 5.3.4

Thay $y^{2} + 1$ bằng $M$ .

$- \frac{3 y}{y^{2} + 1}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Bước 6.2

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y)}$

Bước 6.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y}$

Bước 6.4

Giả sử $u = y^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Hãy đặt $u = y^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Tính đạo hàm $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Bước 6.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 6.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 6.4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$2 y + 0$

Bước 6.4.1.5

Cộng $2 y$ và $0$ .

$2 y$

Bước 6.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Bước 6.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Bước 6.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Bước 6.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 6.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 6.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Bước 6.9

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Bước 6.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)} + C$

Bước 6.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.1

Nhân $- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.1.1

Sắp xếp lại $\ln (| y^{2} + 1 |)$ và $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))} + C$

Bước 6.11.1.2

Rút gọn $\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ bằng cách di chuyển $\frac{3}{2}$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Bước 6.11.2

Rút gọn $- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Bước 6.11.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Bước 6.11.4

Nhân các số mũ trong ${({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Bước 6.11.4.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.4.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Bước 6.11.4.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Bước 6.11.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Bước 6.11.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $y^{2} + 1$ với $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $y^{2} + 1$ với $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.3

Trừ đi số mũ của mẫu số từ số mũ của tử số để có cùng một cơ số

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3}{2} \cdot - 1} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3 \cdot - 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.4.1.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{- 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

${(y^{2} + 1)}^{1 - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.7

Trừ $3$ khỏi $2$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.9

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Bước 7.10

Nhân $- (1 + x y)$ với $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 7.11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 7.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 7.13

Nhân $- 1 - x y$ với $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 7.14

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 7.15

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x y$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 7.16

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (x y)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 7.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + C$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.2

Viết lại $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{- 1}$ và $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ và $g (y) = y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.7

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.8

Nhân các số mũ trong ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.14

Cộng $2 y$ và $0$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.16

Kết hợp $2$ và $\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.17

Kết hợp $\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $y$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.18

Di chuyển ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.19

Triệt tiêu thừa số chung.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.20

Viết lại biểu thức.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.21

Kết hợp $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$x (- \frac{y {(y^{2} + 1)}^{- 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.22

Di chuyển ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.23

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $y^{2} + 1$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.23.1

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.23.1.1

Nâng $y^{2} + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.23.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.23.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.23.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.23.4

Cộng $1$ và $2$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.3.24

Kết hợp $x$ và $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Cộng $\frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 13.1.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y + 1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 13.1.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- x y + 1 + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.1

Cộng $- x y$ và $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 13.1.1.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 13.1.2

Trừ $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $- \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Bước 14.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Bước 14.4

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(y^{2} + 1)}^{3}}} d y$

Bước 14.5

Giả sử $y = \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d y = \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t)$ dương.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 14.6

Rút gọn $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 14.6.2

Nhân các số mũ trong ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 14.6.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 14.6.3

Viết lại $\sec^{6} (t)$ ở dạng ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 14.6.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 14.7

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.7.1

Đưa $\sec^{2} (t)$ ra ngoài $\sec^{3} (t)$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 14.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 14.7.3

Viết lại biểu thức.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Bước 14.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.8.1

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$g (y) = - \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Bước 14.8.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (y) = - \int 1 \cos (t) d t$

Bước 14.8.3

Nhân $\cos (t)$ với $1$ .

$g (y) = - \int \cos (t) d t$

Bước 14.9

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$g (y) = - (\sin (t) + C)$

Bước 14.10

Rút gọn.

$g (y) = - \sin (t) + C$

Bước 14.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (y)$ .

$g (y) = - \sin (\arctan (y)) + C$

Bước 15

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$

Bước 16

Rút gọn $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, y)$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (y)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, y)$ . Do đó, $\sin (\arctan (y))$ là $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Bước 16.1.2

Nhân $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}) + C$

Bước 16.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.3.1

Nhân $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Bước 16.1.3.2

Nâng $\sqrt{1 + y^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Bước 16.1.3.3

Nâng $\sqrt{1 + y^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + y^{2}}}^{1}} + C$

Bước 16.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Bước 16.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}} + C$

Bước 16.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ ở dạng $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + y^{2}}$ ở dạng ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Bước 16.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Bước 16.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Bước 16.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Bước 16.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{1}} + C$

Bước 16.1.3.6.5

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} + C$

Bước 16.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Bước 16.3

Để viết $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Bước 16.4

Để viết $- \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Nhân $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.2

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $y^{2} + 1$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.2.1

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.2.1.1

Nâng $y^{2} + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.2.4

Cộng $1$ và $2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.3

Nhân $\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ với $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.4

Nhân $y^{2} + 1$ với ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.4.1

Nhân $y^{2} + 1$ với ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.4.1.1

Nâng $y^{2} + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Bước 16.5.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Bước 16.5.4.4

Cộng $2$ và $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + y^{2}}$ ở dạng ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x \cdot 1 - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.4

Nhân $- y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.4.2

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.4.2.1

Di chuyển ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.4.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.4.2.5

Chia $2$ cho $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.4.3

Rút gọn $- y {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y \cdot y^{2} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.6

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.6.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.6.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.6.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y^{1}) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{2 + 1} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.6.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.8

Viết lại $x y^{2} + x - y^{3} - y$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.8.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.8.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$f (x, y) = \frac{(x y^{2} + x) - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.8.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.1.8.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $y^{2} + 1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{2} + 1) (x - y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 16.7.2

Di chuyển ${(y^{2} + 1)}^{1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- 1}} + C$

Bước 16.7.3

Nhân ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ với ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Bước 16.7.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Bước 16.7.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Bước 16.7.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Bước 16.7.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Bước 16.7.3.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$