Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 2.3.3

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 4 \arctan (x) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $\frac{π}{2}$ cho $y$ trong $y = 4 \arctan (x) + K$ .

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ .

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Bước 4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Bước 4.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$π + K = \frac{π}{2}$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $π$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = \frac{π}{2} - π$

Bước 4.3.2

Để viết $- π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $- π$ và $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $2 π$ khỏi $π$ .

$K = \frac{- π}{2}$

Bước 4.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$K = - \frac{π}{2}$

Bước 5

Thay $- \frac{π}{2}$ cho $K$ trong $y = 4 \arctan (x) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- \frac{π}{2}$ bằng $K$ .

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$