Giải tích Ví dụ

$\frac{d N}{d t} + N = N t e^{t}$ , $N (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $N$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d N}{d t} = N t e^{t} - N$

Bước 1.2

Đưa $N$ ra ngoài $N t e^{t} - N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $N$ ra ngoài $N t e^{t}$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) - N$

Bước 1.2.2

Đưa $N$ ra ngoài $- N$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) + N \cdot - 1$

Bước 1.2.3

Đưa $N$ ra ngoài $N (t e^{t}) + N \cdot - 1$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t} - 1)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = t e^{t} - 1$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{N} d N = (t e^{t} - 1) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{N} d N = \int t e^{t} - 1 d t$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{N}$ đối với $N$ là $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} - 1 d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} d t + \int - 1 d t$

Bước 2.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{t}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t + \int - 1 d t$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) - t + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - e^{t} - t + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| N |) + C_{1} = e^{t} t - t - e^{t} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$

Bước 3

Giải tìm $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $N$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| N |)} = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{e^{t} t - t - e^{t} + C} = | N |$

Bước 3.3

Giải tìm $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ .

$| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

Bước 3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ .

$| N | = e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$ ở dạng $e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$ .

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ và $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $1$ cho $N$ trong $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ .

$1 = C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$ .

$C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C e^{0 \cdot 1 + 0 - e^{0}} = 1$

Bước 6.2.2

Nhân $0$ với $1$ .

$C e^{0 + 0 - e^{0}} = 1$

Bước 6.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C e^{0 + 0 - 1 \cdot 1} = 1$

Bước 6.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$C e^{0 + 0 - 1} = 1$

Bước 6.2.5

Cộng $0$ và $0$ .

$C e^{0 - 1} = 1$

Bước 6.2.6

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$C e^{- 1} = 1$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $C e^{- 1} = 1$ cho $e^{- 1}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $C e^{- 1} = 1$ cho $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Bước 6.3.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Di chuyển $e^{- 1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Bước 7

Thay $e$ cho $C$ trong $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $e$ bằng $C$ .

$N = e e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Bước 7.2

Nhân $e$ với $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$N = e^{1} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Bước 7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$N = e^{1 + t e^{t} - t - e^{t}}$