Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Bước 1.4

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.6

Nhân $y$ với $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 5.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 5.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

Bước 5.3

Viết lại $- x^{- 1} + C$ ở dạng $- \frac{1}{x} + C$ .

$x y = - \frac{1}{x} + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $x y = - \frac{1}{x} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = - \frac{1}{x} + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$