Giải tích Ví dụ

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y \cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $\cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

Bước 1.4

Chia mỗi số hạng trong $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ cho $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.6

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.6.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.7

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos^{3} (x)$ và $\cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài $\cos^{3} (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.1

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.8

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 1.9

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\cot (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\sin (x)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 3.2.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại $\sin (x) (\cot (x) y)$ theo sin và cosin.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 3.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.4

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.5

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 3.6

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

Bước 3.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $\sin (x) y = \tan (x) + C$ cho $\sin (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $\sin (x) y = \tan (x) + C$ cho $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.2

Viết lại $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ ở dạng một tích.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.2.2

Tách các phân số.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 8.3.2.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Bước 8.3.2.4

Chia $C$ cho $1$ .

$y = \sec (x) + C \csc (x)$