Giải tích Ví dụ

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y \ln (x) + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\ln (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y \ln (x)$ đối với $y$ là $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.3

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \ln (x) - e^{y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Bước 2.3.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Bước 2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Bước 2.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Bước 2.3.6

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- e^{y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- e^{y}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $1 + \ln (x)$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $\ln (x) + 1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1 + \ln (x)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

Bước 5.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

Bước 5.4

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

Bước 5.5

Rút gọn.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x \ln (x) y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.3.2

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.3.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.3.5

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.3.7

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.4

Vì $- e^{y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- e^{y}$ đối với $x$ là $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Bước 8.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1

Nhân $y$ với $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Bước 8.6.2.2

Cộng $y + y \ln (x)$ và $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Bước 8.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Bước 9.1.2

Trừ $y \ln (x)$ khỏi $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Cộng $- y$ và $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

Bước 9.1.3.2

Cộng $- \frac{d g}{d x}$ và $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

Bước 9.1.4

Vì $\frac{d g}{d x}$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

Bước 9.1.5

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d g}{d x} = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d g}{d x} = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.1.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.5.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.1.5.2.2

Chia $\frac{d g}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.1.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.5.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 10.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 10.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$