Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} (1 + y^{2})$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (3 x^{2} (1 + y^{2}))$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{1 + y^{2}} (x^{2} (1 + y^{2}))$

Bước 1.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} (x^{2} (1 + y^{2}))$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $x^{2} (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x^{2})$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x^{2})$

Bước 1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = 3 x^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (y) + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = x^{3} + K$

Bước 3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (x^{3} + K)$