Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

Bước 2.3.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $2$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ .

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Bước 4.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Bước 4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Bước 4.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Bước 4.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Bước 4.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

Bước 4.2.1.5

Nhân $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.5.1

Nhân $8$ với $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

Bước 4.2.1.5.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

Bước 4.2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

Bước 4.2.2

Cộng $4$ và $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

Bước 4.2.3

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Bước 4.2.4

Kết hợp $8$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Bước 4.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

Bước 4.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Nhân $8$ với $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

Bước 4.2.6.2

Trừ $8$ khỏi $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

Bước 4.3

Trừ $\frac{16}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - \frac{16}{3}$

Bước 5

Thay $- \frac{16}{3}$ cho $K$ trong $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- \frac{16}{3}$ bằng $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Bước 5.2.2

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$