Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x$ , $y (1) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int x d x$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$0 = 1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$ .

$1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Bước 4.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Bước 4.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + K = 0$

Bước 4.2.1.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} + K = 0$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 + \frac{1}{2} + K = 0$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + K = 0$

Bước 4.3

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - \frac{1}{2}$

Bước 5

Thay $- \frac{1}{2}$ cho $K$ trong $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- \frac{1}{2}$ bằng $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$