Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ với $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.2

Nhân $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ với $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1.5

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.6.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.6.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.7

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.8

Sử dụng quy tắc thương số $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 - V^{2}}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 - V^{2}}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{2} - V^{2}}$

Bước 6.1.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$

Bước 6.1.1.2

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.1

Đưa $V$ ra ngoài $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.1.1

Đưa $V$ ra ngoài $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.1.2

Đưa $V$ ra ngoài $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.1.3

Đưa $V$ ra ngoài $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1)}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + \frac{- ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.3

Khai triển $(- 1 - V) (1 - V)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.5.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 (1 - V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2

Nhân $- 1 (- V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.2

Nhân $V$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5

Nhân $V$ với $V$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.1

Di chuyển $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.2

Nhân $V$ với $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.1.7

Nhân $V^{2}$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Cộng $- 1$ và $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2.5.6

Cộng $0$ và $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3

Kết hợp $V$ và $\frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4

Nhân $V$ với $V^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.1

Nhân $V$ với $V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.1.1

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.6

Kết hợp.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

Bước 6.1.1.3.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.7.1

Nhân $V^{3}$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$

Bước 6.1.1.3.3.7.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{x (1 + V) (1 - V)}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Kết hợp.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

Bước 6.1.4.2

Kết hợp.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

Bước 6.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $1 + V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

Bước 6.1.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

Bước 6.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $1 - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

Bước 6.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} (x)}$

Bước 6.1.4.5

Triệt tiêu thừa số chung $V^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} x}$

Bước 6.1.4.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Di chuyển $V^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Khai triển $(1 + V) (1 - V) V^{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (1 (1 - V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + V \cdot 1 V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.7

Sắp xếp lại $V$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.8

Sắp xếp lại $V$ và $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.9

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.10

Nhân $V^{- 3}$ với $1$ .

$\int V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int V^{- 3} - V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.12

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int V^{- 3} - (V \cdot V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.13

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\int V^{- 3} - (V^{1} V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int V^{- 3} - V^{1 - 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.15

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.16

Nhân $V$ với $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.17

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 - 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.19

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.20

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V \cdot V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.21

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.22

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V^{1}) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.23

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{1 + 1} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.24

Cộng $1$ và $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.25

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{2} V^{- 3}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.26

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2 - 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.27

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.28

Cộng $- V^{- 2}$ và $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 3} + 0 - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.29

Trừ $V^{- 1}$ khỏi $0$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.30

Sắp xếp lại $V^{- 3}$ và $- V^{- 1}$ .

$\int - V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $V$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Tích phân của $V^{- 1}$ đối với $V$ là $\ln (| V |)$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $V^{- 3}$ đối với $V$ là $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) - \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.8.1

Rút gọn.

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.8.2.1

Nhân $\frac{1}{V^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.8.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $V^{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2 V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

Bước 8

Giải $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Bước 8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Bước 8.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Bước 8.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Bước 8.2.4

Nhân $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ với $1$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Bước 8.3

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 8.3.2.2

Chia $\ln (| \frac{y}{x} |)$ cho $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 8.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 8.3.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ ở dạng $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 8.3.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 8.3.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot C$ ở dạng $- C$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 8.3.3.1.5

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Bước 8.3.3.1.6

Viết lại $- 1 \cdot \ln (| x |)$ ở dạng $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - \ln (| x |)$

Bước 8.4

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Bước 8.5

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Bước 8.6

Nhân $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Bước 8.6.2

Kết hợp $\frac{y}{x}$ và $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Bước 8.7

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Bước 8.7.2

Chia $y$ cho $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$