Giải tích Ví dụ

$x^{2} d y + (2 x y - x + 1) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(2 x y - x + 1) d x + x^{2} d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y - x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x + 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y - x + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + 0$

Bước 2.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $2 x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Bước 4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x = 2 x$ là một đẳng thức.

Bước 5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Bước 6

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Bước 7

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Bước 8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y - x + 1$

Bước 9

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 x y - x + 1$

Bước 9.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Bước 9.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Bước 9.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Bước 9.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Bước 9.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1$

Bước 9.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y - x + 1$

Bước 10

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1 - 2 x y$

Bước 10.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x y - x + 1 - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Trừ $2 x y$ khỏi $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1 + 0$

Bước 10.1.2.2

Cộng $- x + 1$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1$

Bước 11

Tìm nguyên hàm của $- x + 1$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - x + 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x + 1 d x$

Bước 11.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x + 1 d x$

Bước 11.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int - x d x + \int d x$

Bước 11.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int x d x + \int d x$

Bước 11.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Bước 11.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Bước 11.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Bước 11.8

Rút gọn.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Bước 12

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Bước 13

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{2}}{2} + x + C$