Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \cos (\frac{x}{2}) d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int \cos (u) (1 \cdot 2) d u$

Bước 2.3.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y + C_{1} = - \int \cos (u) \cdot 2 d u$

Bước 2.3.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \int 2 \cos (u) d u$

Bước 2.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (2 \int \cos (u) d u)$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \cos (u) d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = - 2 (\sin (u) + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

$y + C_{1} = - 2 \sin (u) + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \sin (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - 2 \sin (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - 2 \sin (\frac{1}{2} x) + K$