Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1} y$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} - 1} y)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{x}{x^{2} - 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} - 1})$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} - 1})$

Bước 1.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Bước 1.3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 1.3.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = (x + 1) (x - 1)$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = (x + 1) (x - 1)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Bước 2.3.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.1.1.3.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.1.1.3.4.2

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.1.1.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.1.1.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.1.1.3.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Bước 2.3.1.1.3.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.3.8.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Bước 2.3.1.1.3.8.3

Cộng $x$ và $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Bước 2.3.1.1.3.8.4

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.8.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.1.1.3.8.4.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Bước 3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.4

Để viết $\ln (| y |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp $\ln (| y |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.7

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.2

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.3

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.4.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.4.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.4.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.4.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.4.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.4.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + x - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.4.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 0 - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.4.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.4.6

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Bước 3.7.1.2

Viết lại $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Bước 3.7.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.7.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.5.2

Rút gọn.

$\ln (\frac{y}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.1

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (\frac{y}{{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.2.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 0 - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7.1.6.2.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.8

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Bước 3.9

Viết lại $\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.10

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Bước 3.10.2

Nhân cả hai vế với ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.10.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1

Triệt tiêu thừa số chung ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.10.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = C {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$