Giải tích Ví dụ

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

Bước 1

Trừ $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x e^{y}$ .

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y}{x}$ vào tử số.

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Bước 3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Bước 3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Bước 3.6.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Bước 3.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Bước 3.6.4

Viết lại biểu thức.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Bước 3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.3

Rút gọn.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$