Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = y^{- 2} \ln (x)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y^{- 2}$ ra ngoài $y^{- 2} \ln (x)$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} (\ln (x)))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \ln (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \ln (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $y^{- 2}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \ln (x) d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \ln (x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

Bước 2.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x \ln (x) - x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $3 (x \ln (x) - x + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{3} = 3 (x \ln (x)) + 3 (- x) + 3 K$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y^{3} = 3 x \ln (x) - 3 x + 3 K$

Bước 3.3

Rút gọn $3 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$y^{3} = x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + K}$