Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.4.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.6

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Bước 2.3.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

$y + C_{1} = - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Bước 2.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Bước 4.2

Rút gọn $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Bước 4.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (1) + C = 3$

Bước 4.2.1.4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \cdot 0 + C = 3$

Bước 4.2.1.5

Nhân $5$ với $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 0 + C = 3$

Bước 4.2.2

Cộng $- 1 - \frac{7}{2}$ và $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + C = 3$

Bước 4.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Bước 4.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Bước 4.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2} + C = 3$

Bước 4.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 - 7}{2} + C = 3$

Bước 4.2.6.2

Trừ $7$ khỏi $- 2$ .

$\frac{- 9}{2} + C = 3$

Bước 4.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{9}{2} + C = 3$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $\frac{9}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 3 + \frac{9}{2}$

Bước 4.3.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$C = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{3 \cdot 2 + 9}{2}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$C = \frac{6 + 9}{2}$

Bước 4.3.5.2

Cộng $6$ và $9$ .

$C = \frac{15}{2}$

Bước 5

Thay $\frac{15}{2}$ cho $C$ trong $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{15}{2}$ bằng $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + \frac{15}{2}$

Bước 5.2

Rút gọn $5 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + \ln ({| x |}^{5}) + \frac{15}{2}$