Giải tích Ví dụ

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.4

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{2}{x^{2}}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (x)}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{2}{x^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x^{2}}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{2}{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{2}{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int \frac{2}{x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 7.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$x y = 2 (\ln (| x |) + C)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$x y = 2 \ln (| x |) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x y = 2 \ln (| x |) + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = 2 \ln (| x |) + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Rút gọn $2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$y = \frac{\ln ({| x |}^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$y = \frac{\ln (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$