Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} = y + x e^{\frac{y}{x}}$

Bước 1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{\frac{y}{x}}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{\frac{y}{x}}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x e^{\frac{y}{x}}}{x}$

Bước 1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x e^{\frac{y}{x}}}{x}$

Bước 1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x e^{\frac{y}{x}}}{x}$

Bước 1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x e^{\frac{y}{x}}}{x}$

Bước 1.3.1.2

Chia $e^{\frac{y}{x}}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V + e^{V} - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

Bước 6.1.1.1.2.2

Cộng $0$ và $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

Bước 6.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

Bước 6.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Kết hợp.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Bước 6.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Bước 6.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Làm âm số mũ của $e^{V}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{V})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2.1.3

Viết lại $- 1 V$ ở dạng $- V$ .

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2.2

Nhân $e^{- V}$ với $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Giả sử $u = - V$ . Sau đó $d u = - d V$ , nên $- d u = d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Hãy đặt $u = - V$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

Bước 6.2.2.2.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $V$ , nên đạo hàm của $- V$ đối với $V$ là $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

Bước 6.2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 6.2.2.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 6.2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Rút gọn.

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ cho $- 1$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.2.2

Chia $e^{- V}$ cho $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \ln (| x |)$ ở dạng $- \ln (| x |)$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Bước 6.3.1.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot C$ ở dạng $- C$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

Bước 6.3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Bước 6.3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Khai triển $\ln (e^{- V})$ bằng cách di chuyển $- V$ ra bên ngoài lôgarit.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Bước 6.3.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Bước 6.3.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Bước 6.3.4

Chia mỗi số hạng trong $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ cho $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Bước 6.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Bước 6.3.4.2.2

Chia $V$ cho $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Bước 6.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

Bước 6.3.4.3.2

Viết lại $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ ở dạng $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

Bước 6.4

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$