Giải tích Ví dụ

$\frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \frac{1}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Bước 1.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $N$ ra ngoài $(1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Bước 1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24}))$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π t$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{24}))$

Bước 1.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $24$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Bước 1.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Bước 1.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{π t}{12}))$

Bước 1.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Bước 1.2.6

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Bước 1.2.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{N} d N = (2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{N} d N = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{N}$ đối với $N$ là $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 d t + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Bước 2.3.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Bước 2.3.4

Giả sử $u = \frac{π t}{12}$ . Sau đó $d u = \frac{π}{12} d t$ , nên $\frac{12}{π} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u = \frac{π t}{12}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{π t}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}]$

Bước 2.3.4.1.2

Vì $\frac{π}{12}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{π t}{12}$ đối với $t$ là $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{π}{12} \cdot 1$

Bước 2.3.4.1.4

Nhân $\frac{π}{12}$ với $1$ .

$\frac{π}{12}$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{12}} d u$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{π}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) (1 \frac{12}{π}) d u$

Bước 2.3.5.2

Nhân $\frac{12}{π}$ với $1$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{12}{π} d u$

Bước 2.3.5.3

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{12}{π}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u) \cdot 12}{π} d u$

Bước 2.3.5.4

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $\cos (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{12 \cos (u)}{π} d u$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{12}{π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{12}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 (\frac{12}{π} \int \cos (u) d u)$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{12}{π}$ và $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{12 \cdot - 2}{π} \int \cos (u) d u$

Bước 2.3.7.2

Nhân $12$ với $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{- 24}{π} \int \cos (u) d u$

Bước 2.3.7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} \int \cos (u) d u$

Bước 2.3.8

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} (\sin (u) + C_{3})$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (u) + C_{4}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{π t}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π t}{12}) + C_{4}$

Bước 2.3.11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + C_{4}$

Bước 2.3.12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| N |) + C_{1} = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$

Bước 3

Giải tìm $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $N$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| N |)} = e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C} = | N |$

Bước 3.3

Giải tìm $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$ .

$| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Kết hợp $\sin (\frac{π}{12} t)$ và $\frac{24}{π}$ .

$| N | = e^{- \frac{\sin (\frac{π}{12} t) \cdot 24}{π} + 2 t + C}$

Bước 3.3.2.2

Di chuyển $24$ sang phía bên trái của $\sin (\frac{π}{12} t)$ .

$| N | = e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$ ở dạng $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$ và $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$N = C e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$