Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Bước 1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

Bước 1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

Bước 1.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Bước 1.2.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 1 - y$ . Sau đó $d u = - d y$ , nên $- d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 1 - y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Bước 2.3.6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - y$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $x$ ra khỏi bên trong arctang.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Sắp xếp lại $\ln (| 1 - y |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$