Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 8 x \sqrt{16 - y^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (8 x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 4$ và $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ với $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 (\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}) (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ với $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.2

Nâng $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.3

Nâng $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.6

Viết lại ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ ở dạng $(4 + y) (4 - y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ ở dạng ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.4.6.5

Rút gọn.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.5

Kết hợp $8$ và $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Bước 1.2.6

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{4^{2} - y^{2}})$

Bước 1.2.7

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$

Bước 1.2.8

Nhân $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Kết hợp $x$ và $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.8.2

Kết hợp $\frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)}$ và $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.8.3

Nâng $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.8.4

Nâng $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.8.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1})}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.8.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1

Viết lại ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ ở dạng $(4 + y) (4 - y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ ở dạng ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{1}}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.1.5

Rút gọn.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 ((4 + y) (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.2

Khai triển $(4 + y) (4 - y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 (4 - y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.3.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.3.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.3.1.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.3.1.5

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.3.1.5.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.3.1.5.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.3.2

Cộng $- 4 y$ và $4 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 0 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.3.3

Cộng $16$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.4

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4^{2} - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.9.5

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $4 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Bước 1.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

Bước 1.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $4 - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

Bước 1.2.11.2

Chia $x \cdot 8$ cho $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 8$

Bước 1.2.12

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = 8 x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}}$ đối với $y$ là $\arcsin (\frac{y}{4})$

$\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1} = \int 8 x d x$

Bước 2.2.3

Viết lại $\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1}$ ở dạng $\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \int 8 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ ở dạng $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) = 4 x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $y$ từ bên trong arcsin.

$\frac{1}{4} y = \sin (4 x^{2} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $y$ .

$\frac{y}{4} = \sin (4 x^{2} + K)$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

Bước 3.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 4 \sin (4 x^{2} + K)$