Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 4$ , $y (0) = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (3 x^{2} - 4) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 3 x^{2} - 4 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} - 4 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int - 4 d x$

Bước 2.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int - 4 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = x^{3} - 4 x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = x^{3} - 4 x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $4$ cho $y$ trong $y = x^{3} - 4 x + K$ .

$4 = 0^{3} - 4 \cdot 0 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $0^{3} - 4 \cdot 0 + K = 4$ .

$0^{3} - 4 \cdot 0 + K = 4$

Bước 4.2

Rút gọn $0^{3} - 4 \cdot 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + K = 4$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- 4$ với $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

Bước 4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + K = 4$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 4$

Bước 5

Thay $4$ cho $K$ trong $y = x^{3} - 4 x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $4$ bằng $K$ .

$y = x^{3} - 4 x + 4$