Giải tích Ví dụ

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $A b^{2} \cos (b r)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

Bước 1.2

Đưa $A$ ra ngoài $- b^{2} A \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $A$ và $- b^{2} \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (r) d r}$ , trong đó $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- b^{2} \cos (b r)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- b^{2}$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $- b^{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = b r$ . Sau đó $d u = b d r$ , nên $\frac{1}{b} d u = d r$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u = b r$ . Tìm $\frac{d u}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Viết lại.

$1 b$

Bước 2.2.2.1.2

Nhân $b$ với $1$ .

$b$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{b}$ .

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

Bước 2.2.4

Vì $\frac{1}{b}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{b}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{b}$ và $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

Bước 2.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $b^{2}$ và $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Đưa $b$ ra ngoài $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

Bước 2.2.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.2.1

Nâng $b$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

Bước 2.2.5.2.2.2

Đưa $b$ ra ngoài $b^{1}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Bước 2.2.5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Bước 2.2.5.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

Bước 2.2.5.2.2.5

Chia $b$ cho $1$ .

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

Bước 2.2.6

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$e^{- b \sin (u) + C}$

Bước 2.2.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $b r$ .

$e^{- b \sin (b r) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- b \sin (b r)}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- b \sin (b r)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- b \sin (b r)}$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Bước 3.3

Nhân $e^{- b \sin (b r)}$ với $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tích phân của $0$ đối với $r$ là $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

Bước 7.2

Cộng $0$ và $C$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- b \sin (b r)} A = C$ cho $e^{- b \sin (b r)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- b \sin (b r)} A = C$ cho $e^{- b \sin (b r)}$ .

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- b \sin (b r)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $A$ cho $1$ .

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $r$ và $b^{3}$ cho $A$ trong $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

Bước 10

Giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân cả hai vế với $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Rút gọn $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1.1

Nhân $b$ với $0$ .

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Bước 10.2.1.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Bước 10.2.1.1.3

Nhân $- b \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Bước 10.2.1.1.3.2

Nhân $0$ với $b$ .

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Bước 10.2.1.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Bước 10.2.1.1.5

Nhân $b^{3}$ với $1$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Bước 10.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Bước 10.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$b^{3} = C$

Bước 10.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$b = \sqrt[3]{C}$

Bước 11

Thay $\sqrt[3]{C}$ cho $C$ trong $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $\sqrt[3]{C}$ bằng $b$ .

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$