Giải tích Ví dụ

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

Bước 1

Trừ $(1 + x) y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Bước 3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $(1 - y) x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Bước 3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Bước 3.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x y}$ vào tử số.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Bước 3.4.2

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Bước 3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Bước 3.4.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

Bước 3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

Bước 3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

Bước 3.8

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Bước 3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Bước 3.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.2.3.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.2.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.2.6

Rút gọn.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Bước 4.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Bước 4.3.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

Bước 4.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

Bước 4.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$