Giải tích Ví dụ

$x (y d) x + (x + 1) d y = 0$

Bước 1

Trừ $x y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(x + 1) d y = - x y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x + 1$ ra ngoài $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y)} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(x + 1) y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (x y) d x$

Bước 3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Bước 3.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 1} x d x$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{- 1}{x + 1}$ và $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 1} d x$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 1} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Bước 4.3.2

Chia $x$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Bước 4.3.2.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Bước 4.3.2.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Bước 4.3.2.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Bước 4.3.2.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Bước 4.3.2.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 4.3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 4.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 4.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 4.3.6

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.3.6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.6.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.3.6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.3.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 4.3.7

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

Bước 4.3.8

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| u |)) + C_{4}$

Bước 4.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{4}$

Bước 4.3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Bước 4.3.10.2

Nhân $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.10.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Bước 4.3.10.2.2

Nhân $\ln (| x + 1 |)$ với $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \ln (| x + 1 |) = - x + C$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |})} = e^{- x + C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = \frac{| y |}{| x + 1 |}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$

Bước 5.5.2

Nhân cả hai vế với $| x + 1 |$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x + 1 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Bước 5.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Bước 5.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x + C} | x + 1 |$ .

$| y | = | x + 1 | e^{- x + C}$

Bước 5.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x + 1 | e^{- x + C}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $e^{- x + C}$ ở dạng $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{- x} e^{C})$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $e^{- x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{C} e^{- x})$

Bước 6.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C | x + 1 | e^{- x}$