Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y + 3$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) (- \frac{x + 1}{2 (y + 3)})$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$ vào tử số.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{2 (y + 3)}$

Bước 1.2.1.2

Đưa $y + 3$ ra ngoài $2 (y + 3)$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Bước 1.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Bước 1.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = \frac{- (x + 1)}{2}$

Bước 1.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(y + 3) d y = - \frac{x + 1}{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y + 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y d y + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 y + C_{2} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \int \frac{x + 1}{2} d x$

Bước 2.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int x + 1 d x)$

Bước 2.3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int x d x + \int d x)$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x)$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + x) + K$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x + K$

Bước 3.2.3

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} x + K$

Bước 3.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x + K$

Bước 3.2.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + K$

Bước 3.3

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $\frac{x^{2}}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} = - \frac{x}{2} + K$

Bước 3.3.2

Cộng $\frac{x}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} = K$

Bước 3.3.3

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - K = 0$

Bước 3.4

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $4$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot (2 (\frac{y^{2}}{2})) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 y^{2} + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 (2) (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{x}{2})) + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x + 4 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x - 4 K = 0$

Bước 3.4.3

Di chuyển $12 y$ .

$2 y^{2} + x^{2} + 2 x - 4 K + 12 y = 0$

Bước 3.4.4

Di chuyển $2 x$ .

$2 y^{2} + x^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Bước 3.4.5

Sắp xếp lại $2 y^{2}$ và $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Bước 3.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.6

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = 12$ , và $c = x^{2} - 4 K + 2 x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} - 8 (- 4 K) - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.4.1

Nhân $- 4$ với $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.4.2

Nhân $2$ với $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.5

Đưa $8$ ra ngoài $144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1

Đưa $8$ ra ngoài $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.5.2

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.5.3

Đưa $8$ ra ngoài $32 K$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.5.4

Đưa $8$ ra ngoài $- 16 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.5.5

Đưa $8$ ra ngoài $8 (18) + 8 (- x^{2})$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.5.6

Đưa $8$ ra ngoài $8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.5.7

Đưa $8$ ra ngoài $8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.6

Viết lại $8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.6.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.6.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.6.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$

Bước 3.7.3

Rút gọn $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

Bước 3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K - 2 x + 18)} + 6}{2}$