Giải tích Ví dụ

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d T}{d t} + M (t) T = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$ cho $25$ .

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d T}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $80 e^{- 0.04 t}$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{25}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $25$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 (5)}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 \cdot 5}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{16 e^{- 0.04 t}}{5}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} T = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = \frac{1}{25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{1}{25}$ và $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\frac{t}{25}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} T) = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{25}$ và $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ và $T$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t}{25}} e^{- 0.04 t}$

Bước 3.4

Nhân $e^{\frac{t}{25}}$ với $e^{- 0.04 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $e^{- 0.04 t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} (e^{- 0.04 t} e^{\frac{t}{25}})$

Bước 3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t + \frac{t}{25}}$

Bước 3.4.3

Để viết $- 0.04 t$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t \cdot \frac{25}{25} + \frac{t}{25}}$

Bước 3.4.4

Kết hợp $- 0.04 t$ và $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25}{25} + \frac{t}{25}}$

Bước 3.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25 + t}{25}}$

Bước 3.4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Đưa $t$ ra ngoài $- 0.04 t \cdot 25 + t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.1

Đưa $t$ ra ngoài $- 0.04 t \cdot 25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t}{25}}$

Bước 3.4.6.1.2

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t^{1}}{25}}$

Bước 3.4.6.1.3

Đưa $t$ ra ngoài $t^{1}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1}{25}}$

Bước 3.4.6.1.4

Đưa $t$ ra ngoài $t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25 + 1)}{25}}$

Bước 3.4.6.2

Nhân $- 0.04$ với $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 1 + 1)}{25}}$

Bước 3.4.6.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t \cdot 0}{25}}$

Bước 3.4.7

Nhân $t$ với $0$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{0}{25}}$

Bước 3.4.8

Chia $0$ cho $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{0}$

Bước 3.5

Rút gọn $\frac{16}{5} e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{T e^{\frac{t}{25}}}{25} = \frac{16}{5}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] = \frac{16}{5}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] d t = \int \frac{16}{5} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\frac{t}{25}} T = \int \frac{16}{5} d t$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ cho $e^{\frac{t}{25}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ cho $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{t}{25}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $T$ cho $1$ .

$T = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Kết hợp $\frac{16}{5}$ và $t$ .

$T = \frac{\frac{16 t}{5}}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Bước 8.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$T = \frac{16 t}{5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Bước 8.3.1.3

Kết hợp.

$T = \frac{16 t \cdot 1}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Bước 8.3.1.4

Nhân $16$ với $1$ .

$T = \frac{16 t}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$