Giải tích Ví dụ

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

Bước 1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Bước 2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

Bước 2.3

Nhân $\frac{1}{x}$ với $x e^{2 x} + 1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Bước 3.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.3.2

Chia $e^{2 x}$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.4

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.3.4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 3.3.4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 3.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.5

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.8

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Bước 3.3.9

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 3.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

Bước 4.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 4.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 4.4

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Bước 4.5

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Bước 4.6

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Bước 4.6.2

Nhân cả hai vế với $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Bước 4.6.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Bước 4.6.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Bước 4.6.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Bước 4.6.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Bước 5

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ ở dạng $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

Bước 5.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$