Giải tích Ví dụ

$2 x (y + 1) + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x y + 2 x \cdot 1 + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1.1.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x y + 2 x + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1.1.1.4

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Bước 1.1.2.2

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Bước 1.1.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Bước 1.1.3.2

Nâng $\frac{d y}{d x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Bước 1.1.3.3

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y - 2 x$

Bước 1.1.3.4

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$

Bước 1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ cho $x^{2} + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ cho $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y - 2 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x y - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.2.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) - 2 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.2.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.2.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y - 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.2.2

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- y - 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1 (1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.3.4.1

Viết lại $- (y + 1)$ ở dạng $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.3.3.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y + 1}$ vào tử số.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Bước 1.4.2.2

Đưa $y + 1$ ra ngoài $\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Bước 1.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Bước 1.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u_{1} = y + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = y + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.4

Giả sử $u_{2} = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u_{2} = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.4.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.3.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 1 | | x^{2} + 1 |) = C$

Bước 3.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| (y + 1) (x^{2} + 1) |) = C$

Bước 3.4

Khai triển $(y + 1) (x^{2} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Bước 3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Bước 3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Bước 3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $y$ với $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Bước 3.5.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Bước 3.5.3

Nhân $1$ với $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$

Bước 3.6

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |)} = e^{C}$

Bước 3.7

Viết lại $\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} + y + x^{2} + 1 |$

Bước 3.8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$ .

$| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$

Bước 3.8.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} + y + x^{2} + 1 = \pm e^{C}$

Bước 3.8.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x^{2} + y + 1 = \pm e^{C} - x^{2}$

Bước 3.8.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x^{2} + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Bước 3.8.4

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Bước 3.8.4.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Bước 3.8.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$y (x^{2}) + y \cdot 1 = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Bước 3.8.4.4

Đưa $y$ ra ngoài $y (x^{2}) + y \cdot 1$ .

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Bước 3.8.5

Chia mỗi số hạng trong $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ cho $x^{2} + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ cho $x^{2} + 1$ .

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.8.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.8.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.8.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.3.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.8.5.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.8.5.3.2

Kết hợp thành một phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.3.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.8.5.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$