Giải tích Ví dụ

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3 x^{3} \sin (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Bước 1.2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3 x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x^{3} \sin (y)$ đối với $y$ là $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\sin (y)$ đối với $y$ là $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

Bước 2.2

Vì $\cos (y)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{4} \cos (y)$ đối với $x$ là $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

Bước 2.4

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $4 \cos (y) x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $3 x^{3} \cos (y)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $4 x^{3} \cos (y)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $3 x^{3} \cos (y)$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $4 x^{3} \cos (y)$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

Bước 4.3

Thay $x^{4} \cos (y)$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x^{4} \cos (y)$ bằng $N$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $x^{3} \cos (y)$ ra ngoài $3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $x^{3} \cos (y)$ ra ngoài $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

Bước 4.3.2.1.2

Đưa $x^{3} \cos (y)$ ra ngoài $- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Bước 4.3.2.1.3

Đưa $x^{3} \cos (y)$ ra ngoài $x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Bước 4.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Bước 4.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x}$

Bước 4.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x + 3 x^{3} \sin (y)$ với $\frac{1}{x}$ .

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Bước 6.3.2

Viết lại biểu thức.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{3} \sin (y)$ .

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Bước 6.4.3

Viết lại biểu thức.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x^{4} \cos (y)$ với $\frac{1}{x}$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 6.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4} \cos (y)$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 6.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 6.6.3

Viết lại biểu thức.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $x^{3}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x^{3}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

Bước 8.2

Tích phân của $\cos (y)$ đối với $y$ là $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

Bước 8.3

Rút gọn.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} \sin (y) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $\sin (y)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{3} \sin (y)$ đối với $x$ là $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 11.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sin (y)$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $3 x^{2} \sin (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $3 x^{2} \sin (y)$ khỏi $3 x^{2} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $1$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Bước 13.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = x + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$