Giải tích Ví dụ

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

Bước 1

Giả sử $v = t^{2}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $t^{2}$ .

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d w}$ bằng cách tính đạo hàm $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = w^{2}$ và $g (w) = t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d w} [t]$ ở dạng $t'$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

Bước 3

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $2 t$ ra ngoài $2 w t$ .

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Bước 3.3

Viết lại biểu thức.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

Bước 4

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $v$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

Bước 4.2

Chia mỗi số hạng trong $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ cho $w$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Bước 4.3.2

Chia $\frac{d v}{d w}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $w^{3}$ và $w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $w$ ra ngoài $- 2 w^{3}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nâng $w$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

Bước 4.4.2.2

Đưa $w$ ra ngoài $w^{1}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Bước 4.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Bước 4.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

Bước 4.4.2.5

Chia $- 2 w^{2}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

Bước 4.5

Đưa $v$ ra ngoài $\frac{- v}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

Bước 4.6

Sắp xếp lại $v$ và $\frac{- 1}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

Bước 5

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (w) d w}$ , trong đó $P (w) = \frac{- 1}{w}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

Bước 5.2

Lấy tích phân $\frac{- 1}{w}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

Bước 5.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $w$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

Bước 5.2.3

Tích phân của $\frac{1}{w}$ đối với $w$ là $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

Bước 5.2.4

Rút gọn.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

Bước 5.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (w)}$

Bước 5.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

Bước 5.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$w^{- 1}$

Bước 5.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

Bước 6

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{w}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{w}$ và $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2.4

Kết hợp $\frac{1}{w}$ và $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2.5

Nhân $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Nhân $\frac{v}{w}$ với $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2.5.2

Nâng $w$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2.5.3

Nâng $w$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Bước 6.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

Bước 6.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung $w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $w$ ra ngoài $w^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Bước 6.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

Bước 7

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

Bước 8

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

Bước 9

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

Bước 10

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $w$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

Bước 10.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $w$ đối với $w$ là $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

Bước 10.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

Bước 10.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

Bước 10.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

Bước 10.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

Bước 10.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

Bước 10.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

Bước 11

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{w}$ và $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

Bước 11.2

Nhân cả hai vế với $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Bước 11.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$v = (- w^{2} + C) w$

Bước 11.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Rút gọn $(- w^{2} + C) w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$v = - w^{2} w + C w$

Bước 11.3.2.1.2

Nhân $w^{2}$ với $w$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1.2.1

Di chuyển $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

Bước 11.3.2.1.2.2

Nhân $w$ với $w^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1.2.2.1

Nâng $w$ lên lũy thừa $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

Bước 11.3.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

Bước 11.3.2.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

Bước 13

Giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

Bước 13.2

Đưa $w$ ra ngoài $- w^{3} + C w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Đưa $w$ ra ngoài $- w^{3}$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

Bước 13.2.2

Đưa $w$ ra ngoài $C w$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

Bước 13.2.3

Đưa $w$ ra ngoài $w (- w^{2}) + w C$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Bước 13.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Bước 13.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Bước 13.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$