Giải tích Ví dụ

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $3 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $y$ là $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.4.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.5.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Bước 1.6

Vì $6 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $6 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + 0$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Cộng $4 y + 3 x - 2$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2$

Bước 1.7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 4 y - 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2} + 2 x y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y - x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 x y - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1 \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $3 x + 4 y - 2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x + 2 y - 1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $3 x + 4 y - 2$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $2 x + 2 y - 1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{N}$

Bước 4.3

Thay $x^{2} + 2 x y - x$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x^{2} + 2 x y - x$ bằng $N$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{x^{2} + 2 x y - x}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x) - (2 y) - - 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - (2 y) - - 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y - - 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Bước 4.3.2.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y + 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $2 x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{x + 4 y - 2 - 2 y + 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Bước 4.3.2.4

Trừ $2 y$ khỏi $4 y$ .

$\frac{x + 2 y - 2 + 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Bước 4.3.2.5

Cộng $- 2$ và $1$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x^{2} + 2 x y - x}$

Bước 4.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + 2 x y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x \cdot x + 2 x y - x}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x \cdot x + x (2 y) - x}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x \cdot x + x (2 y) + x \cdot - 1}$

Bước 4.3.3.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y) + x \cdot - 1}$

Bước 4.3.3.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (x + 2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | x | + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$ với hệ số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ với $x$ .

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) x d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 y^{2} x + 3 x y x - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Di chuyển $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 (x \cdot x) y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Bước 6.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Bước 6.3.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Di chuyển $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 (x \cdot x)) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Bước 6.3.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - x) d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $x^{2} + 2 x y - x$ với $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - x) x d y = 0$

Bước 6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x + 2 x y x - x \cdot x) d y = 0$

Bước 6.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x^{1} + 2 x y x - x \cdot x) d y = 0$

Bước 6.6.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2 + 1} + 2 x y x - x \cdot x) d y = 0$

Bước 6.6.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x - x \cdot x) d y = 0$

Bước 6.6.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.1

Di chuyển $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x \cdot x) y - x \cdot x) d y = 0$

Bước 6.6.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x \cdot x) d y = 0$

Bước 6.6.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.1

Di chuyển $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - (x \cdot x)) d y = 0$

Bước 6.6.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Bước 8.3

Vì $2 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 x^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} \int y d y + \int - x^{2} d y$

Bước 8.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{2} d y$

Bước 8.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{2} y + C$

Bước 8.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{2} y + C$

Bước 8.7

Rút gọn.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{3} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.4

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.5

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2} y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.5.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.6

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 11.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $3 x^{2} y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y$

Bước 12.1.2

Trừ $2 y^{2} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Bước 12.1.3

Cộng $2 x y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$

Bước 12.1.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Trừ $3 x^{2} y$ khỏi $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} + 0 - 2 y^{2} x + 2 x y$

Bước 12.1.4.2

Cộng $2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 x y$

Bước 12.1.4.3

Trừ $2 y^{2} x$ khỏi $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 0 + 2 x y$

Bước 12.1.4.4

Cộng $- 2 y x + 6 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 2 x y$

Bước 12.1.4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- 2 y x$ và $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x^{2} + 2 x y$

Bước 12.1.4.6

Cộng $- 2 x y$ và $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Bước 12.1.4.7

Cộng $6 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $6 x^{2}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Bước 13.3

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 13.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ ở dạng $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Bước 13.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Bước 13.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Bước 13.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Bước 13.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Bước 13.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Bước 13.5.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + 2 x^{3} + C$