Giải tích Ví dụ

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $(1 + e^{x}) y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + e^{x}$ và $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

Bước 1.6

Cộng $0$ và $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

Bước 1.7

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

Bước 5.2

Cộng $0$ và $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $(1 + e^{x}) y = C$ cho $1 + e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $(1 + e^{x}) y = C$ cho $1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$