Giải tích Ví dụ

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Bước 1

Trừ $(e^{x} + 1) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $y^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.2

Nhân $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $y^{2}$ với $y^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.3.1.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.3.3

Viết lại $- 1 y^{- 2}$ ở dạng $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 2}$ đối với $y$ là $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Rút gọn.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.2.8.2.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$