Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2} + x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Bước 1.3

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Bước 1.5

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Bước 1.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $0$ và $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Bước 1.6.2

Cộng $2 y$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y = y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

Bước 4.3

Thay $x y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x y$ bằng $N$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

Bước 4.3.2

Trừ $y$ khỏi $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x y}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | x | + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x^{2} + y^{2} + x) d x + x y d y = 0$ với hệ số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x^{2} + y^{2} + x$ với $x$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) x d x + x y d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{2} x + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(x^{2} x^{1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Bước 6.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x^{2 + 1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Bước 6.3.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Bước 6.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $x y$ với $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y x d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x \cdot x y d y = 0$

Bước 6.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x^{2} y d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{2} y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Bước 8.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.3.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.3.3

Vì $\frac{y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.3.5

Kết hợp $2$ và $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.3.6

Kết hợp $\frac{2 y^{2}}{2}$ và $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.3.7.2

Chia $y^{2} x$ cho $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $y^{2} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $y^{2} x$ khỏi $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2} + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $x^{3} + x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $x^{3} + x^{2}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} + x^{2} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} + x^{2} d x$

Bước 13.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x^{2} d x$

Bước 13.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 13.6

Rút gọn.

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 15.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 15.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$