Giải tích Ví dụ

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

Bước 1

Trừ $x (y^{2} - 4) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{2} - 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Bước 3.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 2$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ và $y$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y^{2} - 4}$ vào tử số.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Bước 3.4.2

Đưa $y^{2} - 4$ ra ngoài $x (y^{2} - 4)$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Bước 3.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u = (y + 2) (y - 2)$ . Sau đó $d u = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u = (y + 2) (y - 2)$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

Bước 4.2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y + 2$ và $g (y) = y - 2$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 4.2.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 4.2.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 4.2.1.1.3.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $y$ là $0$ .

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 4.2.1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 4.2.1.1.3.4.2

Nhân $y + 2$ với $1$ .

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 4.2.1.1.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Bước 4.2.1.1.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Bước 4.2.1.1.3.7

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

Bước 4.2.1.1.3.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

Bước 4.2.1.1.3.8.2

Nhân $y - 2$ với $1$ .

$y + 2 + y - 2$

Bước 4.2.1.1.3.8.3

Cộng $y$ và $y$ .

$2 y + 2 - 2$

Bước 4.2.1.1.3.8.4

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.8.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$2 y + 0$

Bước 4.2.1.1.3.8.4.2

Cộng $2 y$ và $0$ .

$2 y$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

Bước 4.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

Bước 4.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

Bước 4.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

Bước 4.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Bước 4.3.3

Viết lại $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Khai triển $(y + 2) (y - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $y \cdot - 2$ và $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.1.2

Cộng $- 2 y$ và $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.1.3

Cộng $y \cdot y$ và $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.2.1

Nhân $y$ với $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| y^{2} - 4 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

Bước 5.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

Bước 5.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{2}}{2}$ vào tử số.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Bước 5.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Bước 5.2.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ .

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

Bước 5.5.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

Bước 5.5.3

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

Bước 5.5.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

Bước 6.2

Viết lại $e^{- x^{2} + C}$ ở dạng $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại $e^{- x^{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

Bước 6.4

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$