Giải tích Ví dụ

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

Bước 1

Để $v = \frac{d y}{d x}$ . Sau đó $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Thay $v$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $\frac{d v}{d x}$ cho $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ để được phương trình vi phân có biến phụ thuộc $v$ và biến độc lập $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

Bước 2

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Bước 2.2.2

Chia $\frac{d v}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Bước 2.3.2

Chia $6$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

Bước 2.4

Đưa $v$ ra ngoài $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

Bước 2.5

Sắp xếp lại $v$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

Bước 3

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 3.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 3.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

Bước 3.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (x)}$

Bước 3.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{2})}$

Bước 3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{2}$

Bước 4

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân từng số hạng với $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Bước 4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

Bước 4.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

Bước 4.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

Bước 5

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

Bước 6

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

Bước 8

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ ở dạng $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 8.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 8.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Bước 8.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Bước 8.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Bước 8.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

Bước 9

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 9.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 9.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 9.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 9.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 9.3.1.2.4

Chia $2 x$ cho $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Bước 11

Viết lại phương trình.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

Bước 12

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Bước 12.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Bước 12.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Bước 12.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Bước 12.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Bước 12.3.4

Vì $C_{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $C_{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 12.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.5.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 12.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.5.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 12.3.5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 12.3.5.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

Bước 12.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

Bước 12.3.7

Rút gọn.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

Bước 12.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

Bước 12.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$