Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{\ln (y)}{y}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{y}{\ln (y)}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Bước 1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = \ln (y)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{y} d y$ , nên $y d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = \ln (y)$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Bước 2.2.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u d u = \int x d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (y)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln^{2} (y)$ .

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Bước 3.3.2

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Bước 3.3.2.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Bước 3.3.2.3

Viết lại $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Bước 3.3.2.4

Viết lại phương trình ở dạng $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Bước 3.3.2.5

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Bước 3.3.2.6

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Bước 3.3.2.7

Viết lại $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Bước 3.3.2.8

Viết lại phương trình ở dạng $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .