Giải tích Ví dụ

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$ cho $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sin (3 t)$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 (1)}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 \sin (3 t)}{1}$

Bước 1.3.2.4

Chia $2 \sin (3 t)$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = 2 \sin (3 t)$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} y = 2 \sin (3 t)$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = \frac{- 1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 1}{2} d t}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{- 1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{\int - \frac{1}{2} d t}$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- \frac{1}{2} t + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \frac{1}{2} t}$

Bước 2.4

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- \frac{t}{2}} (\frac{- 1}{2} y) = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Bước 3.2.3

Kết hợp $e^{- \frac{t}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Bước 3.2.4

Kết hợp $y$ và $\frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] d t = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- \frac{t}{2}} y = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Bước 7.2

Giả sử $u = - \frac{t}{2}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{2} d t$ , nên $- 2 d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Hãy đặt $u = - \frac{t}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Bước 7.2.1.2

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{t}{2}$ đối với $t$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 7.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 7.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Bước 7.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (3 (- 2 u)) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.3.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) (1 \cdot 2) d u$

Bước 7.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \cdot 2 d u$

Bước 7.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - 2 e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Bước 7.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 (- 2 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u)$

Bước 7.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Bước 7.5.2

Sắp xếp lại $e^{u}$ và $\sin (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int \sin (- 6 u) e^{u} d u$

Bước 7.6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = \sin (- 6 u)$ và $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (- 6 \cos (- 6 u)) d u)$

Bước 7.7

Vì $- 6$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - (- 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u))$

Bước 7.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u)$

Bước 7.8.2

Sắp xếp lại $e^{u}$ và $\cos (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int \cos (- 6 u) e^{u} d u)$

Bước 7.9

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = \cos (- 6 u)$ và $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (6 \sin (- 6 u)) d u))$

Bước 7.10

Vì $6$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - (6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)))$

Bước 7.11

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Nhân $6$ với $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Bước 7.11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) + 6 (- 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Bước 7.11.3

Nhân $- 6$ với $6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) - 36 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)$

Bước 7.12

Khi giải tìm $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ = $\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37} + C)$

Bước 7.13

Viết lại $- 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \cos (- 6 u) e^{u}}{37} + C)$ ở dạng $- 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Bước 7.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = \frac{- 4 (e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u)))}{37} + C$

Bước 7.14.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Bước 7.15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (- 6 (- \frac{t}{2})) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Bước 7.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.16.1

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (6 \frac{t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Bước 7.16.2

Kết hợp $6$ và $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Bước 7.16.3

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (6 \frac{t}{2}))}{37} + C$

Bước 7.16.4

Kết hợp $6$ và $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Bước 7.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.17.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.17.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Bước 7.17.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.17.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Bước 7.17.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Bước 7.17.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{3 t}{1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Bước 7.17.1.2.4

Chia $3 t$ cho $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Bước 7.17.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.17.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2}))}{37} + C$

Bước 7.17.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.17.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}))}{37} + C$

Bước 7.17.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}))}{37} + C$

Bước 7.17.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{3 t}{1}))}{37} + C$

Bước 7.17.2.2.4

Chia $3 t$ cho $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + C$

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} e^{- \frac{1}{2} t} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} \cdot (e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))) + C$

Bước 8.1.2

Kết hợp $e^{- \frac{t}{2}}$ và $\frac{4}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ cho $e^{- \frac{t}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ cho $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$y = \frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.3.1.2

Đưa $\frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37}$ ra ngoài $\frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}}$ .

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} \cdot \frac{- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.3.1.3

Kết hợp.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{4 (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.3.1.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Bước 8.2.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$